23. Combinatória e Probabilidade

O Início de Tudo

Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

É a famosa "Regra do E". Quando um evento é composto por etapas diferentes (independentes), você descobre o total de possibilidades multiplicando as opções de cada etapa.

🎯 Exercício Prático (Cardápio)

Tenho 3 camisas diferentes e 2 calças. De quantas formas posso me vestir?

Conta: $3 \times 2 = \mathbf{6 \text{ formas}}$.

O Ponto de Exclamação

O que é o Fatorial ($n!$)?

Na matemática, o sinal de exclamação não é um grito, é uma ordem: "multiplique o número por todos os seus antecessores até chegar no 1". É a base matemática para resolver Arranjos e Combinações.

🎯 Exercício Prático (Fatorial)

Como calcular $4!$ (quatro fatorial) e $5!$?

$ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \mathbf{24} $

$ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \mathbf{120} $

A Pergunta de Ouro da Combinatória

Antes de usar as fórmulas de Fatorial abaixo, faça esta pergunta fundamental para o problema:

"Se eu mudar a ordem dos escolhidos, altera o resultado do grupo?"

A Ordem IMPORTA!

Arranjo ($A$)

Se a ordem muda tudo, use Arranjo. Ex: Senhas (123 é diferente de 321) ou Pódio de corrida (João em 1º e Maria em 2º é diferente de Maria em 1º).

$$ A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!} $$

($n$ é o total disponível, $p$ são as vagas).

🎯 Exercício de Arranjo

5 pessoas para eleger 1 Presidente e 1 Vice ($n=5$, $p=2$).

$ A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!} $

$ A_{5,2} = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = \mathbf{20} $

A Ordem NÃO Importa

Combinação ($C$)

Use quando a ordem não criar grupos novos. Ex: Salada de frutas (Maçã e Uva é a mesmíssima salada que Uva e Maçã) ou um sorteio de loteria.

$$ C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!} $$

Ganha o $p!$ embaixo para "cortar" as repetições.

🎯 Exercício de Combinação

Temos 5 jogadores para formar duplas de vôlei ($n=5$, $p=2$).

$ C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!} $

$ C_{5,2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 3!} = \mathbf{10} $

A Chance da Sorte

A Matemática da Probabilidade

Em problemas simples, você sempre vai montar uma fração dividindo a quantidade de coisas que você QUER que aconteça pela quantidade TOTAL de coisas que existem no jogo (o Espaço Amostral).

A Regra Geral

$$ P = \frac{\text{O que eu QUERO}}{\text{O que eu TENHO}} $$

(Evento) $\div$ (Espaço Amostral)

A Regra do "E" (Multiplica)

Quero que aconteça A "e" B simultaneamente. É mais difícil acontecer, as chances diminuem. Multiplique as frações!

🎯 Exercício: Moeda dar Cara ($\frac{1}{2}$) E Dado dar o número 4 ($\frac{1}{6}$).

Conta: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \mathbf{\frac{1}{12}}$

A Regra do "OU" (Soma)

Quero que aconteça A "ou" B. Você tem mais opções, a sua chance aumenta. Some as frações!

🎯 Exercício: Tirar um Ás num baralho ($\frac{4}{52}$) OU um Rei ($\frac{4}{52}$).

Conta: $\frac{4}{52} + \frac{4}{52} = \mathbf{\frac{8}{52}}$

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