12. Escala e Regras de Três - Prof. Rinaldo Lima

Mapas e Plantas

A Escala (A Fração do Arquiteto)

A Escala é uma proporção mágica que "encolhe" a realidade para caber no papel. Quando você lê 1:400, significa: "A cada 1 cm desenhado no papel, temos 400 cm na vida real". Iguale a escala com a fração do problema.

🎯 Exemplo Prático (Planta de Casa)

Uma planta tem escala de 1:400 ($\frac{1}{400}$). No papel, o quarto mede 6cm. Qual o tamanho real ($x$)?

$$ \frac{1 \text{ (Papel)}}{400 \text{ (Real)}} = \frac{6 \text{ (Papel)}}{x \text{ (Real)}} $$

Multiplicando cruzado: $1 \cdot x = 400 \cdot 6$ $\mathbf{x = 2400 \text{ cm}}$

Crescem Juntas

Regra de 3 Direta

A Regra de Três exige a Pergunta Lógica: "Se eu comprar MAIS quilos de carne, vou pagar MAIS dinheiro?". Sim! Como as duas sobem juntas (setas no mesmo sentido), a proporção é direta.

🎯 Exemplo: 2 kg custam R$ 60. E 5 kg?

Peso 2 ↓ 5

------

R$ 60 ↓ x

Montando a Proporção:

Setas iguais: mantenha as frações como estão.

$$ \frac{2}{5} = \frac{60}{x} $$

Cruzado: $2 \cdot x = 5 \cdot 60$ $2x = 300 \implies \mathbf{x = 150}$

Efeito Gangorra

Regra de 3 Inversa

Pergunta Lógica: "Se eu colocar MAIS pedreiros, a obra vai demorar MENOS dias?". Sim! Quando uma sobe e a outra desce, as setas ficam opostas! Inverta a fração que NÃO tem o $x$.

🎯 Exemplo: 3 pedreiros = 12 dias. 4 pedreiros?

Pedreiros 3 ↓ 4

------

Dias 12 ↑ x

Montando a Proporção:

Setas opostas! Inverta a fração dos pedreiros.

$$ \frac{12}{x} = \frac{3}{4} \xrightarrow{\text{Inverte!}} \frac{12}{x} = \frac{4}{3} $$

Cruzado: $4 \cdot x = 3 \cdot 12$ $4x = 36 \implies \mathbf{x = 9}$

O Terror das Bancas Destruído

Regra de 3 Composta

O raciocínio é o mesmo da simples. Isole a fração do $x$ no canto esquerdo. Faça a Pergunta Lógica comparando cada coluna individualmente com a coluna do $x$. Se for inversa, inverta a fração. Por fim, multiplique todas as outras colunas e iguale ao $x$.

🎯 Ex: 10 máquinas imprimem 500 livros em 5 dias. Em quantos dias 8 máquinas farão 800 livros?

Máquinas 10 ↑ 8

Livros 500 ↓ 800

Dias ($x$) 5 ↓ x

As Perguntas Lógicas (sempre comparando com Dias):

Máquinas x Dias: Menos máquinas exigem MAIS dias (Gangorra = Inversa! Inverta o 10/8 para 8/10).
Livros x Dias: Mais livros exigem MAIS dias (Juntas = Direta! Mantenha o 500/800).

$$ \frac{5}{x} = \frac{8}{10} \cdot \frac{500}{800} $$ $$\downarrow$$ $$ \frac{5}{x} = \frac{4000}{8000} $$

$$\downarrow$$ (Simplificando por 4000)

$$ \frac{5}{x} = \frac{1}{2} $$

Multiplicando cruzado: $1 \cdot x = 5 \cdot 2$ $\mathbf{x = 10 \text{ dias}}$

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