Cônicas Básicas
As "Seções Cônicas" surgem dos cortes em um cone 3D. No plano cartesiano, elas recebem propriedades de distância fascinantes em relação a pontos especiais chamados de Focos.
1 A Elipse (A Circunferência "Amassada")
Definição: É o conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois focos ($F_1$ e $F_2$) é sempre constante (igual a $2a$). Pense nas órbitas dos planetas ao redor do sol!
Equação Reduzida (Centro na Origem):
- $a$: Semieixo maior (metade da largura total)
- $b$: Semieixo menor (metade da altura)
- Relação Pitagórica: $a^2 = b^2 + c^2$ (onde $c$ é a distância do centro ao foco)
Exemplo Resolvido 1: Encontrando os Focos da Elipse
Dada a elipse de equação $ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 $, determine as coordenadas de seus focos.
// 1. Identificar 'a' e 'b'
O maior denominador está sob o X, então o eixo maior é horizontal. $a^2 = 25 \implies a = 5$.
O menor denominador está sob o Y. $b^2 = 9 \implies b = 3$.
// 2. Encontrar 'c' pela Relação Pitagórica da Elipse
$ a^2 = b^2 + c^2 $
$ 25 = 9 + c^2 $
$ c^2 = 25 - 9 = 16 \implies c = 4 $
Como o eixo maior é deitado (x), os focos estão no eixo X distantes 4 unidades do centro (0,0).
Logo, os focos são $F_1(-4, 0)$ e $F_2(4, 0)$.
2 A Hipérbole
Definição: É o conjunto de pontos cuja diferença (em módulo) das distâncias a dois focos ($F_1$ e $F_2$) é sempre constante. Tem dois "ramos" espelhados, virados para fora.
Equação Reduzida (Eixo Real no X):
Diferença crucial: o sinal de "menos" no meio.
- Relação Pitagórica da Hipérbole: Aqui, o Foco ($c$) é quem "manda" porque está mais distante que o vértice. A fórmula inverte: $c^2 = a^2 + b^2$.
3 A Parábola
Você já a conhece das funções do 2º Grau! Mas geometricamente, a Parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância exata de um Ponto Central ($Foco$) e de uma Reta Guia ($Diretriz$). A antena parabólica reflete o sinal exatamente no Foco!
Equação (Vértice na Origem):
- $p$: É o parâmetro da parábola.
- A distância do Foco até o Vértice é $\frac{p}{2}$. A distância do Vértice até a Diretriz também é $\frac{p}{2}$.
Exemplo Resolvido 2: Foco e Diretriz
Dada a parábola de equação $x^2 = 8y$. Determine a posição de seu Foco e a equação de sua Reta Diretriz.
// 1. Identificar o parâmetro p
Comparando com $x^2 = 2py$, temos que $2p = 8$. Logo, $p = 4$.
// 2. Encontrar Foco e Diretriz
A distância do vértice (Origem 0,0) para o Foco (para cima) é $\frac{p}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
A distância para a Diretriz (para baixo) também é 2.
Como $y$ é positivo, a boca está voltada para CIMA.
👉 O Foco subiu 2: $F(0, 2)$.
👉 A Reta Diretriz desceu 2, é horizontal: $y = -2$.
Desafio de Fixação
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