A Circunferência
Na geometria analítica, a circunferência nada mais é do que o lugar geométrico de todos os pontos que estão a uma distância fixa (Raio) de um ponto central (Centro).
1 A Equação Reduzida
Se pegarmos a fórmula da distância entre dois pontos e aplicarmos para a distância do Centro $C(a,b)$ até um ponto genérico $P(x,y)$ sendo igual ao Raio $R$, descobrimos a equação reduzida:
- 📍 Centro: $(a, b)$ (Atenção para inverter os sinais que estão no parênteses!)
- 📏 Raio: $R$ (Basta tirar a raiz quadrada do número que está depois do "igual")
Exemplo Resolvido 1: Posicionamento do Ponto
Dada a circunferência de equação $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$. O ponto $A(6, 2)$ é interno, externo ou pertence à circunferência?
// Dica: Basta substituir as coordenadas do ponto A(6, 2) no x e y da equação.
$ (6 - 3)^2 + (2 + 2)^2 $
$ (3)^2 + (4)^2 $
$ 9 + 16 = 25 $
Como o resultado deu exatamente 25 (igual ao raio ao quadrado da equação), concluímos que o ponto $A$ pertence à borda da circunferência!
(Se desse menor que 25 seria Interno; se desse maior, Externo).
2 A Equação Geral e o Raio Escondido
Se desenvolvermos os Produtos Notáveis da equação reduzida, chegaremos na equação geral: $ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 $. Mas como voltar da Geral para a Reduzida para descobrir o Centro e o Raio? Usamos a técnica de Completar Quadrados.
Exemplo Resolvido 2: Completando os Quadrados
Dada a circunferência: $ x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0 $, encontre as coordenadas de seu Centro e a medida de seu Raio.
// 1. Agrupar X com X, e Y com Y
$ (x^2 - 6x \quad ) + (y^2 + 8y \quad ) = 0 $
// 2. Encontrar o que falta para virar Trinômio Quadrado Perfeito
- Para o X: pegue a metade de $-6$ (que é $-3$) e eleve ao quadrado: $(-3)^2 = 9$. Some 9.
- Para o Y: pegue a metade de $8$ (que é $4$) e eleve ao quadrado: $(4)^2 = 16$. Some 16.
Tudo que soma de um lado, TEM que somar do outro!
$ (x^2 - 6x \mathbf{+ 9}) + (y^2 + 8y \mathbf{+ 16}) = 0 \mathbf{+ 9 + 16} $
// 3. Fatorar e Revelar
$ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25 $
Aí está a Equação Reduzida!
👉 O Centro é C(3, -4) (Atenção à troca de sinal!)
👉 O Raio é $\sqrt{25} = $ 5.
Desafio de Fixação
Iniciar Missão Prática (+150 XP)