Posições Relativas
Como duas retas se comportam no plano quando se encontram (ou nunca se encontram)? E qual é o caminho mais curto entre um ponto e uma parede?
1 Retas Paralelas e Perpendiculares
O grande "chefe" que decide o destino de duas retas é o Coeficiente Angular ($m$). Basta olhar para ele.
Retas Paralelas
Nunca se cruzam. Elas têm exatamente a mesma inclinação.
Retas Perpendiculares
Formam uma cruz perfeita ($90^\circ$). A inclinação de uma é o inverso negativo da outra.
Exemplo Resolvido 1: Construindo uma Reta Perpendicular
Dada a reta $r: y = 2x + 1$, encontre a equação da reta $s$ que seja perpendicular à reta $r$ e que passe pelo ponto $P(4, 3)$.
// 1. Descobrir a inclinação da reta "r"
Olhando para $y = 2x + 1$, vemos que $m_r = 2$.
// 2. Encontrar a inclinação da perpendicular "s"
Tem que ser o inverso negativo: inverter a fração e trocar o sinal.
Como $m_r = \frac{2}{1}$, então $m_s = -\frac{1}{2}$.
// 3. Montar a reta "s" usando Yoyô-Mixoxô
Sabemos que ela passa por $P(4, 3)$.
$ y - y_0 = m_s(x - x_0) $
$ y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 4) $
$ y - 3 = -\frac{x}{2} + 2 $
$ y = -\frac{x}{2} + 2 + 3 $
$ y = -\frac{x}{2} + 5 $
2 Distância de Ponto a Reta
A menor distância entre você (ponto) e um rio (reta) é sempre caminhar numa linha reta perpendicular ao rio. Para calcular essa distância magicamente, usamos a Equação Geral da Reta e substituímos o ponto nela.
A Fórmula "Tóxica" (Aparência assustadora, mas dócil):
- $a, b, c$: Coeficientes da Equação Geral ($ax+by+c=0$)
- $x_0, y_0$: Coordenadas do Ponto
- $|\quad|$: Módulo, garante que a distância seja sempre positiva!
Exemplo Resolvido 2: Qual a distância?
Calcule a distância do ponto $P(2, 5)$ até a reta $r$ de equação $3x - 4y + 4 = 0$.
// 1. Identificar quem é quem
Na reta: $a = 3$, $b = -4$, $c = 4$.
No ponto: $x_0 = 2$, $y_0 = 5$.
// 2. Jogar na fórmula
$ d = \frac{|3(2) + (-4)(5) + 4|}{\sqrt{(3)^2 + (-4)^2}} $
$ d = \frac{|6 - 20 + 4|}{\sqrt{9 + 16}} $
$ d = \frac{|-10|}{\sqrt{25}} $
$ d = \frac{10}{5} $
$ d = 2 $
O ponto está a exatas 2 unidades de distância da reta.
Desafio de Fixação
Iniciar Missão Prática (+150 XP)