Módulo 08 Aula 1

O Ponto e o Plano

A Geometria Analítica nasce da ideia de transformar figuras geométricas em equações algébricas usando um sistema de coordenadas. Tudo começa no Ponto.

1 O Plano Cartesiano

Todo ponto no plano é localizado por um par ordenado $P(x, y)$. O primeiro valor ($x$) diz o quanto andamos na horizontal (abscissas), e o segundo valor ($y$) diz o quanto subimos ou descemos na vertical (ordenadas). O cruzamento dessas direções forma o plano dividido em 4 Quadrantes.

📌 Eixo $x$: Eixo das Abscissas (Horizontal).
📌 Eixo $y$: Eixo das Ordenadas (Vertical).
📌 Origem: Ponto $(0,0)$ onde os eixos se cruzam.

2 Distância Entre 2 Pontos

A distância entre os pontos $A(x_A, y_A)$ e $B(x_B, y_B)$ nada mais é do que o Teorema de Pitágoras aplicado a um triângulo retângulo imaginário que liga os pontos. O tamanho horizontal é a diferença dos "x" ($\Delta x$) e o tamanho vertical é a diferença dos "y" ($\Delta y$).

De Pitágoras: $d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$. Retirando a raiz, chegamos à fórmula da distância:

$$ d_{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $$

Exemplo Resolvido 1: O Triângulo Isósceles

Considere o triângulo formado pelos pontos $A(2, 2)$, $B(-2, -1)$ e $C(5, -2)$. Mostre que este triângulo é isósceles (possui dois lados de mesmo tamanho).

// 1. Distância entre A(2, 2) e B(-2, -1)

$ d_{AB} = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-1 - 2)^2} $

$ d_{AB} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $

// 2. Distância entre A(2, 2) e C(5, -2)

$ d_{AC} = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-2 - 2)^2} $

$ d_{AC} = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $

// 3. Distância entre B(-2, -1) e C(5, -2)

$ d_{BC} = \sqrt{(5 - (-2))^2 + (-2 - (-1))^2} $

$ d_{BC} = \sqrt{(7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $

Conclusão: Como os lados $AB$ e $AC$ medem $5$, o triângulo é isósceles!

3 Ponto Médio e Baricentro

Esses dois pontos são basicamente médias aritméticas. Enquanto a distância mexe com subtrações e raízes quadradas, o ponto médio mexe apenas com a soma e divisão das coordenadas.

📍 Ponto Médio ($M$)

É o ponto que divide o segmento no exato meio. Basta somar as coordenadas e dividir por 2.

$$ x_m = \frac{x_A + x_B}{2} \quad \text{e} \quad y_m = \frac{y_A + y_B}{2} $$

📐 Baricentro ($G$)

É o "centro de gravidade" de um triângulo de vértices A, B e C. Basta somar as 3 coordenadas e dividir por 3!

$$ x_g = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} $$ $$ y_g = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} $$

Exemplo Resolvido 2: Equilibrando o Triângulo

Um triângulo possui vértices em $A(1, 5)$, $B(-2, 1)$ e $C(4, 0)$. Qual é o seu Baricentro ($G$)?

// Coordenada x do Baricentro

$ x_g = \frac{1 + (-2) + 4}{3} = \frac{3}{3} = 1 $

// Coordenada y do Baricentro

$ y_g = \frac{5 + 1 + 0}{3} = \frac{6}{3} = 2 $

Logo, o Baricentro é o ponto $G(1, 2)$. Se você apoiasse este triângulo desenhado em um papel rígido exatamente neste ponto, ele ficaria em perfeito equilíbrio!

4 Condição de Alinhamento (Determinante)

Como saber se 3 pontos formam um triângulo ou se eles estão alinhados um atrás do outro numa reta (colineares)? Para isso, usamos uma ferramenta da álgebra chamada Determinante (D).

Colocamos as coordenadas dos 3 pontos em uma grade (Matriz) e preenchemos a última coluna com o número 1. Se o cálculo do determinante der zero, eles estão alinhados.

$$ D = 0 \implies \text{Mesma Reta!} $$ $$ D \neq 0 \implies \text{Forma um Triângulo!} $$

A Regra de Sarrus (Como calcular)

Exemplo Resolvido 3: Aplicando Sarrus na Prática

Verifique se os pontos $A(-1, 2)$, $B(1, 6)$ e $C(2, 8)$ são colineares (estão na mesma reta).

Montamos a matriz, a última coluna é 1. Depois copiamos as duas primeiras colunas para a direita (Regra de Sarrus):

$$ \begin{matrix} -1 & 2 & 1 & | & -1 & 2 \\ 1 & 6 & 1 & | & 1 & 6 \\ 2 & 8 & 1 & | & 2 & 8 \end{matrix} $$

// 1. Multiplicando as Diagonais Principais (da esquerda para direita descendo)

$(-1 \cdot 6 \cdot 1) + (2 \cdot 1 \cdot 2) + (1 \cdot 1 \cdot 8)$

$(-6) + (+4) + (+8) = \mathbf{+6}$

// 2. Multiplicando as Diagonais Secundárias (da direita para esquerda descendo)

$(1 \cdot 6 \cdot 2) + (-1 \cdot 1 \cdot 8) + (2 \cdot 1 \cdot 1)$

$(+12) + (-8) + (+2) = \mathbf{+6}$

// 3. Subtraindo os resultados: D = Principal - Secundária

Determinante ($D$): $6 - (6) = \mathbf{0}$

Conclusão: Como $D = 0$, os três pontos pertencem obrigatoriamente à mesma reta.

Coloque em prática o uso das coordenadas cartesianas neste teste rápido.

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