Aula 7

Troncos

Pegue uma pirâmide ou um cone, passe uma faca perfeitamente paralela ao chão e arranque o topo (o bico). O sólido que sobra embaixo é o que chamamos de Tronco. Baldes, abajures e copos são exemplos reais de troncos.

1 O Corte e o Fator de Proporção (k)

Quando você corta o topo de um cone ou de uma pirâmide, o bico que você jogou fora é uma "mini pirâmide" (ou mini cone) perfeitamente semelhante ao original gigante. A chave para 90% das questões de tronco é usar essa semelhança.

Fator Linear (k)

A razão entre qualquer medida (altura, raio, aresta) do Sólido Pequeno (P) e do Sólido Grande (G).

$$ k = \frac{h_{peq}}{H_{grd}} $$

Razão de Áreas

\$\\frac{A_{peq}}{A_{grd}} = k^2\$

Razão de Volumes

\$\\frac{V_{peq}}{V_{grd}} = k^3\$

O Truque do Volume do Tronco: Muitas vezes é mais fácil calcular o volume do tronco fazendo $V_{tronco} = V_{Grande} - V_{Pequeno}$ do que usar a fórmula gigante do tronco.

2 A Fórmula Bruta do Volume

Se você tem a altura do tronco ($h_t$), a área da base maior ($A_B$) e a área da base menor ($A_b$), você pode usar a fórmula direta. Ela serve tanto para tronco de pirâmide quanto para tronco de cone.

$$ V_{tronco} = \frac{h_t}{3} \cdot (A_B + \sqrt{A_B \cdot A_b} + A_b) $$

No caso do Tronco de Cone:

Como as bases são círculos ($A_B = \pi R^2$ e $A_b = \pi r^2$), a fórmula se simplifica maravilhosamente para:

$$ V_{cone} = \frac{\pi h_t}{3} \cdot (R^2 + Rr + r^2) $$

3 O Pitágoras no Tronco de Cone

Se fizermos um corte no meio do tronco do cone (secção meridiana), enxergaremos um Trapézio Isósceles. Desse trapézio, extraímos o triângulo retângulo para achar a Geratriz do Tronco ($g$).

O triângulo verde destacado nasce de "descer" a altura ($h_t$) a partir da borda da base menor.

A base desse triângulo verde não é o Raio Grande ($R$). Ela é o pedaço que "sobra": a diferença entre o Raio Grande e o Raio Pequeno ($R - r$).

$$ g^2 = h_t^2 + (R - r)^2 $$

Domine a Geometria das Proporções

Saber usar a razão k, k² e k³ é o segredo dos gabaritos de Matemática no ENEM e vestibulares.

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