Aula 5

Os Cones

Você misturou o conceito do Cilindro (revolução) com a Pirâmide (bico). O resultado é o Cone! O famoso chapéu de festa ou a casquinha de sorvete esconde propriedades maravilhosas ligadas a círculos e triângulos retângulos.

1 Sólido de Revolução e Elementos

O cone reto nasce quando você pega um triângulo retângulo e o faz girar rapidamente em torno de um de seus catetos.

h R g

Três elementos fundamentais formam o Pitágoras do Cone:

  • Altura ($h$): Do vértice até o centro da base.
  • Raio ($R$): Do centro da base até a borda.
  • Geratriz ($g$): A "parede" inclinada do cone. A distância do bico até a borda do chão. É a hipotenusa!
O Pitágoras do Cone
$$ g^2 = h^2 + R^2 $$

2 Planificação e Áreas

Se você cortar a casquinha do sorvete de baixo até o bico e abrir em cima da mesa, ela NÃO forma um triângulo! Ela forma um Setor Circular (um pedaço de pizza).

g g Arco = 2πR R

A "borda da pizza" tem o mesmo comprimento que o círculo da base do cone ($2\pi R$). E o raio dessa pizza enorme é a geratriz ($g$).

Área Lateral ($A_L$)

A área do "pedaço de pizza".

$$ A_L = \pi R g $$
Área Total ($A_T$)

Lateral + Círculo da Base ($\pi R^2$).

$$ A_T = \pi R (g + R) $$
O Ângulo do Setor ($\alpha$)

As bancas amam perguntar qual é o ângulo dessa "fatia de pizza". A regra de três nos dá uma fórmula direta:

Em Graus $$ \alpha = \frac{360^\circ \cdot R}{g} $$
Em Radianos $$ \alpha = \frac{2\pi R}{g} $$

3 Volume e o Cone Equilátero

Igual à pirâmide, o cone tem um bico, logo ele abriga apenas um terço do volume do cilindro correspondente.

Volume (V)
$$ V = \frac{1}{3} \pi R^2 h $$
g g 2R

O Cone Equilátero

Se cortarmos o cone de cima a baixo bem pelo meio (secção meridiana), enxergamos um triângulo isósceles de lados $g$, $g$ e base $2R$.

No Cone Equilátero, esse triângulo do corte é Equilátero. Ou seja, todos os lados são iguais!

g = 2R

Dica: Se a banca disser "Cone Equilátero", substitua $g$ por $2R$ imediatamente. A altura dele será a altura de um triângulo equilátero ($h = R\sqrt{3}$).

Você está pronto?

Calcular a área do "pedaço de pizza" da planificação do cone é uma arte. Teste suas habilidades no Quiz!

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