Aula 4

Pirâmides

Você já viu poliedros com duas bases (Prismas). Agora veremos os sólidos que possuem apenas UMA BASE e convergem para um único ponto no topo: as Pirâmides. Aqui, o Teorema de Pitágoras vira sua maior arma.

1 A Anatomia da Pirâmide Regular

A palavra "Regular" numa pirâmide significa que a base é um polígono perfeito (quadrado, triângulo equilátero, hexágono regular) e a projeção do topo cai exatamente no centro da base.

h (Altura) a_b a_p

Na pirâmide, temos 3 retas vitais que formam um triângulo retângulo sagrado lá dentro:

  • Altura ($h$): A linha reta do topo até o centro do chão.
  • Apótema da Base ($a_b$): Vai do centro do chão até o meio da borda da base.
  • Apótema da Pirâmide ($a_p$): É a altura do triângulo que forma a "parede" (face lateral) da pirâmide. Ele escorrega por fora.

O Pitágoras da Pirâmide

Toda e qualquer questão difícil de pirâmide no fundo quer que você aplique Pitágoras nesse triângulo mágico que formamos dentro dela. A hipotenusa é sempre o apótema da pirâmide ($a_p$).

$$ (a_p)^2 = h^2 + (a_b)^2 $$

2 Volume da Pirâmide

Se você pegar um prisma e esculpir até virar uma pirâmide com a mesma base e a mesma altura, você vai jogar fora exatamente 2/3 do material. Ou seja, a pirâmide guarda apenas um terço (1/3) do volume do prisma!

Fórmula do Volume
$$ V = \frac{1}{3} \cdot A_{base} \cdot h $$

E a Área Lateral?

As "paredes" de uma pirâmide são sempre triângulos. A área de UM triângulo lateral é:

$A_{face} = \frac{\text{Aresta da Base} \cdot a_p}{2}$

Se a pirâmide for de base quadrada, você terá 4 desses triângulos idênticos. Se for hexagonal, 6 triângulos idênticos. Basta multiplicar para achar a Área Lateral ($A_L$).

3 Tetraedro Regular (O Caso Especial)

O Tetraedro Regular é o único poliedro de Platão que é uma pirâmide. Ele é tão perfeito que todas as 4 faces são triângulos equiláteros idênticos.

a
Área Total

São 4 triângulos equiláteros.

$$ A_t = a^2\sqrt{3} $$
Altura (h)

Do topo ao centro.

$$ h = \frac{a\sqrt{6}}{3} $$
Volume
$$ V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12} $$

Essas fórmulas salvam tempo! Se você não as lembrar na prova, terá que fazer Pitágoras 3 vezes para deduzi-las.

Aperfeiçoe suas Técnicas

Saber extrair o "triângulo retângulo mágico" de dentro da pirâmide separa quem passa de quem erra. Prove que você entendeu no Quiz!

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