Aula 05

Trigonometria Básica no Triângulo Retângulo

Seno, Cosseno e Tangente. O terror de muitos, desmistificado pelo macete lendário SOH CAH TOA. Descubra alturas impossíveis usando apenas um ângulo.

1 Relações trigonométricas no triângulo retângulo

Na aula anterior, os catetos não tinham nomes especiais. Na trigonometria, o nome deles depende de quem está olhando. Fique de pé num dos ângulos agudos e observe!

$\alpha$ Cateto Oposto Cateto Adjacente Hipotenusa
  • SOH: Seno

    $\text{Seno} = \frac{\text{Cateto } \mathbf{O}\text{posto}}{\text{Hipotenusa}}$

  • CAH: Cosseno

    $\text{Cosseno} = \frac{\text{Cateto } \mathbf{A}\text{djacente}}{\text{Hipotenusa}}$

  • TOA: Tangente

    $\text{Tangente} = \frac{\text{Cateto } \mathbf{O}\text{posto}}{\text{Cateto } \mathbf{A}\text{djacente}}$

Atenção! O Cateto Oposto é aquele que está "lá do outro lado", longe de você. O Cateto Adjacente é o que está "colado" no seu pé (junto com a hipotenusa).

2 Tabela dos Ângulos Notáveis ($30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$)

A prova não vai te dar esses valores, você tem que saber de cor! A musiquinha é lendária: "1, 2, 3; 3, 2, 1; Tudo sobre 2, raiz onde não tem 1..."

$30^\circ$ $45^\circ$ $60^\circ$
Seno (sen) $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Cosseno (cos) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$
Tangente (tg) $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$
Bizu para não esquecer: A tangente de $45^\circ$ é 1 porque num triângulo retângulo com um ângulo de $45^\circ$, o outro também é $45^\circ$. Ou seja, é um triângulo isósceles: os dois catetos são IGUAIS! A divisão de um número por ele mesmo é 1.

3 Aplicação Prática

Exemplo 1: Encontrando a altura

Um avião decola sob um ângulo constante de $30^\circ$. Após percorrer $2000\text{ m}$ em linha reta (no ar), qual é a altura que o avião atingiu do solo?

30° 2000 m (voo) h (altura)
1
A distância percorrida "no ar" é a rampa. Logo, a Hipotenusa = 2000.
2
Queremos descobrir a "altura". A altura está "de frente" pro ângulo de 30° lá no chão. Logo, a altura é o Cateto Oposto ($h$).
3
Qual fórmula do SOH CAH TOA usa Cateto Oposto e Hipotenusa? O Seno (SOH)!
$$\text{sen}(30^\circ) = \frac{\text{Cateto Oposto}}{\text{Hipotenusa}}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{h}{2000}$$ $$2h = 2000 \Rightarrow h = 1000\text{ metros}$$

Exemplo 2: O poder da Tangente

Um homem está a $30\text{ m}$ de distância de um prédio e vê o topo dele sob um ângulo de $60^\circ$. Qual é a altura do prédio? (Considere a altura do homem desprezível).

60° 30 m x (altura)
1
O homem está colado no chão. A distância dele até o prédio é o Cateto Adjacente = 30.
2
Ele olha pro topo. O prédio forma a altura vertical, que está de frente pro ângulo. Logo, a altura é o Cateto Oposto ($x$).
3
Oposto e Adjacente. Não temos hipotenusa! Logo, usamos Tangente (TOA)!
$$\text{tg}(60^\circ) = \frac{\text{Cateto Oposto}}{\text{Cateto Adjacente}}$$ $$\sqrt{3} = \frac{x}{30}$$ $$x = 30\sqrt{3}\text{ metros}$$

Decifrador de Ângulos

Você tem o SOH CAH TOA no seu arsenal agora. Vá para o Quiz 05 e prove que você domina as razões trigonométricas!

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