Aula 03

Semelhança e Teorema de Tales

As regras da proporção. Aprenda a trabalhar com ampliações e reduções de figuras para resolver questões rapidamente sem precisar do Teorema de Pitágoras.

1 O Teorema de Tales

Quando um feixe de retas paralelas (várias retas que nunca se tocam) é cortado por duas retas transversais, os segmentos que se formam são **proporcionais**.

A Proporção

Você pode montar a "fração" dos pedacinhos de um lado e igualar com a "fração" dos pedacinhos do outro lado.

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$

2 Semelhança de Triângulos

Dizer que dois triângulos são semelhantes não significa que são do mesmo tamanho. Significa que um é o exato **zoom** do outro (uma miniatura ou uma ampliação perfeita).

Menor

Maior (Ampliado)

Como saber se são semelhantes?

Basta achar **apenas 2 ângulos iguais**. Se dois ângulos forem iguais (Caso AA), o terceiro obrigatoriamente será igual (pois a soma sempre tem que dar 180). Com isso, podemos garantir que os lados são proporcionais.

A Razão de Semelhança (k)

$$ \frac{A}{a} = \frac{B}{b} = \frac{C}{c} = k $$

Atenção Extrema à Ordem! Para montar a equação de semelhança, você deve sempre pegar lados que "olham" para o mesmo ângulo. Se o lado "a" está de frente pro ângulo vermelho, você deve dividir ele pelo lado "A" que também está de frente pro ângulo vermelho no outro triângulo.

Segredo ENEM: A Razão das Áreas

Se você sabe que um triângulo tem o dobro do lado do outro (k=2), o que acontece com a área dele? Fica o dobro? NÃO! A área cresce ao quadrado. Se o lado dobrou, a área multiplica por $2^2 = 4$.

$$ \frac{\text{Área Maior}}{\text{Área Menor}} = k^2 $$

3 Exemplos Práticos Resolvidos

Exemplo 1: O Loteamento (Teorema de Tales)

Três terrenos têm frentes para a rua A e para a rua B. As divisas laterais são retas paralelas. O terreno 1 tem 40m de frente para a rua A, e o terreno 2 tem 30m. Sabendo que a frente do terreno 1 para a rua B mede 60m, qual é a medida da frente do terreno 2 para a rua B?

Resolução:

Montamos a proporção seguindo os terrenos (ou seguindo as ruas):

$$ \frac{40}{30} = \frac{60}{x} $$ $$ 40x = 30 \cdot 60 $$ $$ 40x = 1800 $$ $$ x = \frac{1800}{40} = 45\text{ m} $$

✓ A frente do terreno 2 para a rua B tem 45 metros.

Exemplo 2: O Desafio da Sombra (Semelhança)

Em um dia ensolarado, um prédio projeta uma sombra de 15 m no mesmo instante em que uma pessoa de 1,80 m de altura projeta uma sombra de 2 m. Qual é a altura do prédio?

Resolução:

Os raios de sol são paralelos, formando dois triângulos retângulos semelhantes. Altura está para Altura, assim como Sombra está para Sombra:

$$ \frac{H}{1,80} = \frac{15}{2} $$ $$ 2H = 15 \cdot 1,80 $$ $$ 2H = 27 $$ $$ H = 13,5\text{ m} $$

✓ A altura do prédio é de 13,5 metros.

Teste seus Olhos Geométricos

Consegue enxergar triângulos dentro de triângulos e montar as proporções certas? O Quiz 03 te desafia com o Teorema de Tales e Semelhança.

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