Progressão Geométrica (P.G.)
O fenômeno da multiplicação em cadeia. Do Termo Geral Avançado até o segredo mágico das Somas Infinitas.
A Fila do Salto Multiplicativo
Enquanto a P.A. caminha de passo em passo através de uma soma, a P.G. corre! Na P.G., para ir de um número para o próximo, você sempre MULTIPLICA por um valor fixo. Esse fator de multiplicação constante é chamado de Razão ($q$) (usamos a letra 'q' de quociente para não confundir com o 'r' da P.A.).
Exemplos Numéricos (Visualizando a Razão $q$):
1. P.G. Crescente ($q > 1$)
Para saltar do 2 para o 4, multiplica-se por 2. Do 4 para o 8, multiplica-se por 2 novamente.
Logo, a razão multiplicativa é $q = 2$.
2. P.G. Decrescente ($0 < q < 1$)
A cada passo o valor cai pela metade. Multiplicar pela metade é a mesma coisa que multiplicar por $1/2$.
Logo, a razão multiplicativa é $q = \frac{1}{2}$ ou $0,5$.
3. P.G. Alternante (Oscilante) ($q < 0$)
O sinal inverte a cada salto porque estamos multiplicando por um número negativo!
Logo, a razão multiplicativa é $q = -2$.
O Termo Geral Poderoso ($a_k$)
Da mesma forma que evoluímos a fórmula da P.A., faremos o mesmo para a P.G. Não precisamos sempre começar do $a_1$. Podemos encontrar o valor de qualquer cadeira $a_n$ partindo de uma cadeira genérica $a_k$, bastando elevar a razão $q$ ao número de saltos dados.
A Lógica da Máquina
Se você está na posição 2 ($k=2$) e quer chegar na posição 6 ($n=6$), você precisa dar $6 - 2 = 4$ pulos multiplicativos.
Multiplicar por $q$ quatro vezes seguidas é exatamente o mesmo que multiplicar por $q^4$.
Por isso o expoente se torna $(n - k)$.
Exemplo
Sabe-se que o $3º$ termo de uma P.G. é 10 e a razão $q = 2$. Qual é o valor do $7º$ termo?
Passo 1: Identificar as peças
Passo 2: Substituir na Fórmula
Passo 3: Resolver a Potência
Lembrete: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$
Interpolação Geométrica
Assim como na P.A., "interpolar meios geométricos" entre dois números significa que você quer preencher as lacunas vazias no meio deles, descobrindo exatamente qual número (razão $q$) deve multiplicar a fila para que tudo se conecte.
Exemplo
Insira 3 meios geométricos entre 5 e 405.
Passo 1: Visualizar a fila
5, ___, ___, ___, 405
O 5 é o $a_1$. Logo depois, há 3 espaços vazios. Isso empurra o 405 para a posição 5 ($a_5$).
Passo 2: Encontrar a Razão $q$ usando a Fórmula do Termo Geral
Passamos o 5 dividindo:
Extraímos a raiz quártica (que número multiplicado por ele mesmo 4 vezes dá 81?):
Passo 3: Construir a P.G.
Tendo $q=3$, multiplicamos cada passo partindo do 5:
Soma dos Termos: Finita vs. Infinita
Em sequências geométricas multiplicativas, as somas podem tomar dois caminhos totalmente distintos: ou somamos um grupo finito de cadeiras, ou somamos a fila inteira para sempre.
1. Soma Finita ($S_n$)
Se a P.G. tem começo, meio e fim (ou queremos somar apenas os 10 primeiros números, por exemplo), a fórmula engloba todas essas multiplicações de uma vez:
Exemplo
Calcule a soma dos 5 primeiros termos da P.G. crescente: $(3, 6, 12, ...)$
Passo 1: Identificar as peças
O primeiro termo é $a_1 = 3$. Para ir do 3 para o 6 multiplicamos por 2, logo $q = 2$. Queremos 5 termos, então $n = 5$.
Passo 2: Substituir na Fórmula Finita
Lembrete: $2^5 = 32$
2. Soma Infinita Mágica ($S_{\infty}$)
Imagine um sapo que pula 1 metro. No próximo pulo ele cansa e pula só metade ($0,5$m). No próximo, metade da metade ($0,25$m). O sapo vai pular para sempre, mas como os pulos ficam microscopicamente pequenos, ele nunca vai passar de uma certa distância máxima!
REGRA DE OURO:
Você só pode somar infinitos termos se a P.G. for decrescente e estiver encolhendo, ou seja, quando a razão $q$ for um pedaço menor que 1 (estritamente: $-1 < q < 1$).
Exemplo
Calcule a soma de TODOS os infinitos termos da P.G. decrescente: $(12, 6, 3, 1,5, ...)$
Passo 1: Identificar a razão
O valor está caindo pela metade, logo $q = \frac{1}{2}$ ou $0,5$. O primeiro termo é $a_1 = 12$.
Passo 2: Aplicar a Fórmula do Infinito
Dividir por $0,5$ é o mesmo que multiplicar por $2$:
Mesmo somando números até o fim do universo, essa conta nunca passará de 24!