Módulo 05
Função do 1º Grau (A Reta)
A função do 1º grau é como uma máquina que obedece sempre ao mesmo ritmo. Se você ganha $10$ reais a cada hora de trabalho, seu crescimento é constante. Na matemática, quando colocamos isso num gráfico, o resultado visual é sempre uma reta (linha reta sem curvas).
Toda função do 1º grau tem a cara da fórmula mágica:
(Também pode ser escrita como $y = ax + b$)
Coeficiente Angular
É a Taxa de Variação (inclinação).
Se $a > 0$, a reta sobe (Crescente).
Se $a < 0$, a reta desce (Decrescente).
Coeficiente Linear
É o Valor Fixo. Indica a altura exata onde a reta cruza (corta) o Eixo Y vertical.
Construindo o Gráfico a partir da Lei
Como transformar a fórmula $f(x) = 2x + 1$ num desenho? A regra de ouro é: Para desenhar uma reta, precisamos descobrir apenas dois pontos!
Tabela Mágica: Escolhemos valores fáceis para $x$ (geralmente $0$ e $1$) e calculamos o $y$.
| Entrada $x$ | Cálculo | Saída $y$ | Ponto $(x,y)$ |
|---|---|---|---|
| 0 | 2(0) + 1 | 1 | (0, 1) |
| 1 | 2(1) + 1 | 3 | (1, 3) |
Dica visual: Perceba que quando $x=0$, o $y=1$. Esse é justamente o nosso coeficiente $b$!
A Raiz (ou Zero da Função)
A Raiz é o momento exato em que a reta "colide" contra o chão. Ou seja, é o valor de $x$ quando a saída $y$ é igual a zero ($f(x) = 0$). É onde o gráfico corta o Eixo X (horizontal).
Como calcular matematicamente?
Para encontrar a raiz de $f(x) = 2x - 8$, basta forçar a máquina a dar zero:
A reta corta o Eixo X exatamente no número 4!
Famílias da Reta (Tipos Particulares)
Dependendo dos valores de $a$ e $b$, a reta muda de "família". Veja as quatro mais famosas cobradas em provas:
Função Afim
É a completa: $y = ax + b$ (onde $a$ e $b$ são diferentes de zero). Ela não corta a origem (0,0).
Função Linear
O coeficiente $b = 0$. Ela é $y = ax$. Como não tem altura fixa, a reta sempre cruza a origem (0,0).
Função Constante
O coeficiente $a = 0$. Ela é $y = b$. Não sobe nem desce. É uma reta horizontal (paralela ao Eixo X).
Função Identidade
Um caso especial da Linear: $y = x$. Aqui $a=1$ e $b=0$. Corta os quadrantes exatamente no meio em 45º.
Formando a Lei através do Gráfico
Muitas provas te dão apenas o desenho da reta e pedem para você descobrir a fórmula $y = ax + b$. Para fazer isso, pescamos dois pontos do gráfico e montamos um Sistema (como vimos no Módulo 04).
O Gráfico Misterioso
Passo 1: Extrair e Montar o Sistema
Lendo o gráfico, vimos que: $x=1 \rightarrow y=5$ e $x=3 \rightarrow y=11$. Jogando no molde $y = ax + b$:
Passo 2: Subtrair para achar o $a$
Subtraindo a equação de cima pela de baixo, o $+b$ é anulado ($b - b = 0$). Fazemos $(3a - 1a)$ e $(11 - 5)$:
Passo 3: Substituir para achar o $b$ e formar a lei
Agora que sabemos que $a=3$, pegamos a equação mais fácil ($a+b=5$) e substituímos o valor de $a$ para descobrir o $b$:
Pronto! Com $a=3$ e $b=2$, substituímos na fórmula geral $f(x)=ax+b$: