Aula 10

Funções Compostas e Inversas

A matemática não para na leitura de gráficos. Agora vamos aprender a colocar uma função dentro da outra (a esteira de produção) e a criar a máquina do tempo para desfazer qualquer cálculo.

1 A Esteira de Produção (Função Composta)

Imagine que você tem uma máquina $f(x)$ que dobra o número inserido, e outra máquina $g(x)$ que soma $3$. O que acontece se você ligar a saída de $g(x)$ diretamente na entrada de $f(x)$? Você criou uma Função Composta.

A Notação Matemática

f(g(x)) \quad \text{ou} \quad (f \circ g)(x)

Lê-se "f bola g de x". Significa simplesmente: pegue a fórmula inteira da $g(x)$ e engula ela para dentro do $X$ da função $f(x)$.

Exemplo Prático

Sejam $f(x) = 2x + 1$ e $g(x) = x^2$. Qual é o valor de $f(g(x))$?

\text{Na fórmula da } f(x) \text{, troque o } x \text{ pela fórmula inteira de } g(x): $$ $$ f(\color{#3b82f6}{x}) = 2\color{#3b82f6}{x} + 1 $$ $$ f(\color{#3b82f6}{g(x)}) = 2(\color{#3b82f6}{x^2}) + 1 $$ $$ f(g(x)) = 2x^2 + 1

Atenção: A ordem importa!

O resultado de $f(g(x))$ é quase sempre diferente de $g(f(x))$. Veja o que acontece se invertermos a ordem e jogarmos a $f(x)$ dentro da $g(x)$:

g(f(x)) $$ $$ \text{A base agora é a } g(x) = (\color{red}{x})^2 $$ $$ \text{No lugar do } \color{red}{x} \text{, colocamos toda a } f(x): $$ $$ g(f(x)) = (\color{red}{2x + 1})^2 $$ $$ g(f(x)) = 4x^2 + 4x + 1

Conclusão: $2x^2 + 1 \neq 4x^2 + 4x + 1$. Ou seja, $f(g(x)) \neq g(f(x))$.

Exemplo Prático: Calculando o Valor Numérico da Composta

Enunciado: Dadas as funções $f(x) = 3x - 2$ e $g(x) = x^2 + 4$, determine o valor numérico exato de $(f \circ g)(2)$.

Passo a passo: Lembre-se que $(f \circ g)(2)$ é o mesmo que $f(g(2))$. Sempre resolvemos de dentro para fora. Primeiro, jogamos o $2$ na máquina $g$. Depois, pegamos o resultado e jogamos na máquina $f$.

1º Passo: Calcular a de dentro

\text{Calcular } g(2) $$ $$ g(x) = x^2 + 4 $$ $$ g(2) = (2)^2 + 4 $$ $$ g(2) = 4 + 4 = \mathbf{8}

2º Passo: Jogar o resultado na de fora

\text{Agora calculamos } f(\mathbf{8}) $$ $$ f(x) = 3x - 2 $$ $$ f(8) = 3(8) - 2 $$ $$ f(8) = 24 - 2 = \mathbf{22}

Conclusão: O valor numérico de $(f \circ g)(2)$ é igual a $22$.

2 A Máquina de Desfazer (Função Inversa)

Você envia um número na máquina e ela devolve um resultado. Mas e se você perdeu o número original e só tem o resultado na mão? A Função Inversa, representada matematicamente por $f^{-1}(x)$, é a fórmula exata para desfazer o que a função original fez.

A Regra de Ouro (Condição de Existência da Inversa)

Nem toda função matemática pode ser "desfeita". Para que uma função possua inversa (ou seja, seja inversível), ela precisa obrigatoriamente ser uma Função Bijetora.

Injetora

Nenhum "Y" recebe mais de uma flecha.

Exemplo Injetor:

x = 1 ➔ y = 2
x = 2 ➔ y = 4

Valores de X diferentes levam a valores de Y diferentes.

Sobrejetora

Não sobra nenhum "Y" sem receber flecha.

Exemplo Sobrejetor:

Conjunto Imagem = Contradomínio

Todo número do conjunto de chegada é atingido.

Bijetora

É Injetora e Sobrejetora ao mesmo tempo!

O Match Perfeito:

Cada X tem um Y exclusivo, e não sobra nenhum Y.

Possui Inversa garantida!

Exemplo Simples

Se a função soma $5$ ($f(x) = x + 5$), a inversa precisa subtrair $5$ ($f^{-1}(x) = x - 5$).

A Matemática

Na Função Inversa, tudo se inverte: O Domínio (eixo X) vira a Imagem (eixo Y), e a Imagem vira o Domínio.

A Regra de Ouro (Como achar a Inversa passo a passo)

Para encontrar a fórmula inversa de qualquer função, siga sempre estes 2 passos simples:

Troque fisicamente a letra $X$ de lugar com a letra $Y$.
Isole novamente o $Y$ matematicamente. O novo $Y$ isolado é a sua função inversa $f^{-1}(x)$.

Exemplo de Cálculo:

Ache a inversa de $f(x) = 2x - 4$. (Lembre-se que $f(x)$ é a mesma coisa que $y$)

y = 2x - 4 $$ $$ \text{1. Troque o X pelo Y:} $$ $$ x = 2y - 4 $$ $$ \text{2. Agora, isole o Y:} $$ $$ x + 4 = 2y $$ $$ \frac{x + 4}{2} = y $$ $$ f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{2}

3 O Grande Retorno: Exponencial x Logaritmo

Agora que você conhece a regra, entende porque chamamos o Logaritmo de "reflexo" da Exponencial na aula passada? Eles são literalmente Funções Inversas um do outro!

Vamos provar usando nossa Regra de Ouro. Encontre a inversa de $f(x) = 10^x$.

y = 10^x $$ $$ \text{1. Troca as letras:} $$ $$ x = 10^y $$ $$ \text{2. Precisamos isolar o Y (que está lá em cima no expoente!).} $$ $$ \text{Como se tira um expoente lá de cima? Usando a definição de LOGARITMO!} $$ $$ y = \log_{10}(x)

Conclusão: A máquina capaz de "desfazer" a exponencial e recuperar o expoente original é a Função Logarítmica. A matemática é perfeitamente conectada.

O Teste Final do Módulo 05

Fechando Funções e Gráficos dominando as regras de f(g(x)) e função inversa!

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