Sistemas do 2º Grau
Chegamos ao último desafio do Módulo 04! Aqui vamos juntar os Produtos Notáveis, Bhaskara e Sistemas em uma única missão: descobrir os pares de valores desconhecidos.
Misturando os Graus
Nos Sistemas do 1º Grau (Aula 03), encontrávamos apenas um par $(x, y)$ que resolvia as duas equações.
Mas agora estamos misturando equações que possuem expoentes quadráticos (como $x^2$ ou $y^2$). Devido a esse expoente 2, o sistema passa a poder gerar dois pares distintos de respostas! Ao invés de uma resposta única, encontraremos pares como $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$.
1. O Método da Substituição
Este é o modelo mais clássico: uma equação simples de 1º grau misturada com uma de 2º grau. O segredo é isolar a letra na equação mais fácil e jogar na mais complexa.
Resolva o sistema:
Passo 1: Isolar uma letra na equação do 1º grau (A de cima)
Passo 2: Substituir na equação do 2º grau
Pegamos $x^2 + y^2 = 25$ e no lugar do $y$ botamos $(7 - x)$.
Lembra do Produto Notável da Aula 05? Abrimos o Quadrado da Diferença:
Trazemos o 25 para a esquerda e igualamos a zero:
Passo 3: Encontrar as duas raízes usando Bhaskara
Podemos simplificar a equação dividindo todos por 2:
Calculando por Bhaskara, você encontra os dois valores de $x$: $x_1 = 3$ e $x_2 = 4$.
Passo 4: Voltar e achar os pares do $y$ correspondentes
Lembra que isolamos $y = 7 - x$?
- Se usarmos o $x = 3$: então $y = 7 - 3 = 4$. O primeiro par é $(3, 4)$
- Se usarmos o $x = 4$: então $y = 7 - 4 = 3$. O segundo par é $(4, 3)$
2. Igualando Equações do 2º Grau
E se o sistema for formado por DUAS equações do 2º grau completas? Felizmente, ele costuma ser mais fácil de resolver, pois muitas vezes uma das letras já está totalmente isolada nas duas linhas!
Exemplo:
Passo a Passo:
Se as duas expressões são iguais a $y$, significa que elas devem ser iguais entre si! O método aqui é a Igualação.
Passando tudo para um lado só, juntando os semelhantes:
Esta é uma equação do 2º grau incompleta. Resolvemos tirando a raiz (lembrando do $\pm$):
Achando os pares de $y$:
Use qualquer uma das equações. A mais fácil é $y = x^2$.
- Se $x = 2$, então $y = (2)^2 = 4$. O par correspondente é $(2, 4)$
- Se $x = -2$, então $y = (-2)^2 = 4$. O par correspondente é $(-2, 4)$