19. Relações Métricas - Prof. Rinaldo Lima

A Anatomia

Hipotenusa ($a$): É o lado oposto ao ângulo reto. É a base total do nosso triângulo "deitado".
Catetos ($b, c$): Os lados que formam o ângulo de 90°.
Altura ($h$): O segmento que liga o ângulo reto à hipotenusa, formando 90°.
Projeções ($m, n$): Imagine uma lanterna acima dos catetos; as sombras que eles projetam na hipotenusa são $m$ e $n$.

1. Pitágoras

Relaciona os três lados externos. A soma dos quadrados dos catetos é a hipotenusa ao quadrado.

$$ a^2 = b^2 + c^2 $$

2. Teorema da Altura

Relaciona a altura com as sombras. O quadrado da altura é o produto das projeções.

$$ h^2 = m \cdot n $$

3. Projeção dos Catetos

Cada cateto ao quadrado é igual à hipotenusa inteira multiplicada pela sua própria sombra.

$$ b^2 = a \cdot n $$

$$ c^2 = a \cdot m $$

4. Relação de Produto

O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a ela.

$$ b \cdot c = a \cdot h $$

01. Encontrando a Altura

As projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 9 cm e 16 cm. Determine a altura relativa à hipotenusa.

Dados:
m = 9, n = 16

Resolução:

$h^2 = m \cdot n \implies h^2 = 9 \cdot 16$ $h^2 = 144 \implies h = \sqrt{144}$ $\mathbf{h = 12 \text{ cm}}$

02. Encontrando o Cateto

Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 25 m e a projeção do cateto $b$ sobre ela mede 16 m. Qual o valor de $b$?

Dados:
a = 25, n = 16

Resolução:

$b^2 = a \cdot n \implies b^2 = 25 \cdot 16$ $b^2 = 400 \implies b = \sqrt{400}$ $\mathbf{b = 20 \text{ m}}$