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Tópico 16

Logaritmos e Sequências (P.A. e P.G.)

O Primo Inverso da Potência

A Essência do Logaritmo ($\log$)

A palavra "logaritmo" assusta, mas na verdade ele é apenas uma pergunta matemática disfarçada. Quando escrevemos $\log_2 8$, o que estamos realmente a perguntar é: "A que expoente devo elevar a base (2) para que o resultado seja (8)?". Como $2^3 = 8$, o logaritmo é 3!

A Regra do Ciclo (O Chute)

A base "chuta" o logaritmo para o ar e iguala ao logaritmando.

log 2 8 = 3
$$ 2^3 = 8 $$

A Condição de Existência

O logaritmo é exigente. Ele tem 3 regras inquebráveis para a base ($b$) e para o logaritmando ($a$) no formato $\log_b a$:

  • ✅ 1. O logaritmando ($a$) tem de ser positivo ($a > 0$).
  • ✅ 2. A base ($b$) tem de ser positiva ($b > 0$).
  • ✅ 3. A base ($b$) não pode ser 1 ($b \neq 1$), pois 1 elevado a qualquer coisa é sempre 1.

Nota: Se a base estiver oculta (ex: $\log 100$), ela vale 10.

Os Atalhos Salva-Vidas

Propriedades Operatórias dos Logaritmos

Produto $\rightarrow$ Soma

Se está a multiplicar dentro, separa a somar fora.

$$ \log (A \cdot B) = \log A + \log B $$
Ex: $\log_2(4 \cdot 8)$
$= \log_2 4 + \log_2 8$
$= 2 + 3 = \mathbf{5}$

Divisão $\rightarrow$ Subtração

Se está a dividir dentro, separa a subtrair fora.

$$ \log \left(\frac{A}{B}\right) = \log A - \log B $$
Ex: $\log_3(27 / 9)$
$= \log_3 27 - \log_3 9$
$= 3 - 2 = \mathbf{1}$

O Tombo (Expoente)

O expoente do logaritmando "cai" para a frente a multiplicar.

$$ \log_b (A^n) = n \cdot \log_b A $$
Ex: $\log_2(5^3)$
$= \mathbf{3 \cdot \log_2 5}$
(O 3 escorregou para a frente!)
Padrões Numéricos

Sequências Numéricas (P.A. e P.G.)

Uma sequência é uma fila indiana de números. Na Progressão Aritmética (P.A.), avançamos a somar o mesmo valor. Na Progressão Geométrica (P.G.), avançamos a multiplicar pelo mesmo valor. Esse valor constante chama-se Razão.

Progressão Aritmética (P.A.)

Avança somando a Razão ($r$).

2
+3 →
5
+3 →
8
+3 →
11...

1. O Termo Geral (A Lógica dos Pulos)

Para ir de um termo a outro, você soma a quantidade de "pulos" que deu multiplicada pela razão.

$$ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r $$

⚡ Atalho: Partindo de um termo qualquer

Se a questão der o 5.º termo e pedir o 20.º, dê apenas a diferença de pulos ($20 - 5 = 15$).

$$ a_n = a_p + (n - p) \cdot r $$

2. A Soma da P.A. ($S_n$)

Some o primeiro com o último termo, multiplique pela quantidade de termos e divida por 2.

$$ S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} $$

🎯 Exemplo: A utilidade do Atalho

Numa P.A. de razão $r = 4$, sabemos que o $a_5 = 17$. Qual é o valor do $a_{20}$?

  • • A diferença de pulos é $20 - 5 = 15$ pulos.
  • $a_{20} = a_5 + 15 \cdot r$
  • $a_{20} = 17 + 15(4) \implies \mathbf{77}$

Progressão Geométrica (P.G.)

Avança multiplicando pela Razão ($q$).

2
$\cdot$3 →
6
$\cdot$3 →
18
$\cdot$3 →
54...

1. O Termo Geral (A Lógica dos Pulos)

Como agora estamos a multiplicar sucessivamente, os pulos transformam-se em expoentes na razão!

$$ a_n = a_1 \cdot q^{(n - 1)} $$

⚡ Atalho: Partindo de um termo qualquer

A mesma magia acontece aqui. Para ir do 3.º termo para o 8.º termo, basta dar $8 - 3 = 5$ pulos de expoente.

$$ a_n = a_p \cdot q^{(n - p)} $$

2. A Soma da P.G. Finita ($S_n$)

A fórmula é um pouco mais robusta, mas usa a mesma estrutura da razão geométrica:

$$ S_n = \frac{a_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1} $$

🎯 Exemplo: Usando o Atalho na P.G.

Numa P.G. de razão $q = 2$, o 3.º termo é $a_3 = 12$. Calcule o 7.º termo ($a_7$).

  • • A diferença de pulos no expoente é $7 - 3 = 4$.
  • $a_7 = a_3 \cdot q^4$
  • $a_7 = 12 \cdot (2^4) \implies 12 \cdot 16 = \mathbf{192}$
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